A Antiguidade Clássica.

Extraído do livro "Introdução à História da Educação Matemática" escrito por Maria Ângela Miorim.

     "A mudança de perspectiva com relação à Matemática e seu ensino, ao contrário do que poderíamos supor, não esteve presente na Grécia desde os tempos primitivos. Na realidade, essa mudança seria iniciada apenas por volta do século VI a.C., ou seja, foram necessários muitos séculos, desde o início da formação do povo grego – em meados do segundo milênio a.C. – ,para que isso viesse a acontecer. Podemos afirmar que a educação grega, nesse longo período inicial, representou um retrocesso em relação à antiga educação dos escribas egípcios e babilônios, uma vez que ela, ao contrário daquela, não valorizaria a cultura letrada".

 

"No mundo aristocrático da Grécia primitiva pouco ou nenhum valor era atribuído ao conhecimento da escrita ou da Matemática. É nas epopéias de Homero – Odisséia e Ilíada – ,que se referem a uma época situada entre o século X e VIII a.C., que encontramos o primeiro ideal de formação do homem grego, baseado em atitudes e ações heróicas. Essa educação, que era um privilégio da aristocracia encontraria na formação do guerreiro o seu maior ideal".

 

"Apesar de a formação do guerreiro ter sido a base da educação de toda a Grécia – tendo Homero como o principal educador – e o cultivo tornar-se, em conseqüência, um fator fundamental na civilização helênica até o cristianismo, essa tendência não se manteve uniforme em todas regiões. Isto deve-se, fundamentalmente, ao fato de a Grécia ser composta por cidades-Estados, localizadas em regiões com características geográficas e étnicas bastante diferenciadas, tendo cada uma delas total autonomia administrativa e, portanto, suas próprias leis, ideais e formas de governo. No século VI a.C., por exemplo, num momento em que as demais cidades gregas, de uma forma ou de outra, orientavam-se para a democracia, Esparta mantinha-se aristocrática e sua educação visava exclusivamente à formação do soldado. Nesse mesmo período, a organização social de Atenas começa a ser modificada e “a uma data infelizmente difícil de se precisar [...] perdeu a educação seu caráter essencialmente militar” (Marrou, 1975, p.66)".

    "É nesse momento que a educação grega, especialmente em Atenas, começou a valorizar o ensino da leitura e da escrita para a formação dos filhos dos nobres. Mas teremos de aguardar pelo menos mais um século para ver o ensino de Matemática começar a ser considerado importante para essa formação".

 

"Entretanto, é nesse mesmo século VI a.C., em colônias gregas no litoral da Ásia Menor – Miletos e Samos –, que assistiremos ao nascimento de uma mudança de perspectiva em relação aos estudos matemáticos, que levaria ao surgimento da matemática abstrata".

 

"Na tentativa de encontrar respostas racionais para as questões sobre a origem e a essência do mundo, os pensadores jônicos descobriram na Matemática uma fonte muito rica de conhecimento. Não seria, porém, aquela Matemática essencialmente prática que eles conheceram em sua viagem ao Egito e à Babilônia, mas sim, uma nova Matemática, que ajudaria a “encontraria a ordem no caos, a ordenar as idéias em seqüências lógicas, a encontrar princípios fundamentais”, ou seja, uma Matemática racional (Struik, 1989, p.73)".

 

"É difícil precisar quando e qual seria o processo que levaria ao surgimento da matemática abstrata na Grécia, pois não dispomos de nenhum documento daquele período. Fontes posteriores nos indicam apenas que Tales de Mileto (c. 626-545 a.C.) deu passos importantes nessa direção. Por essa razão, atribuem-lhe o título de primeiro dentre todos os matemáticos gregos. Entretanto, foi Pitágoras de Samos (c. 580-500 a.C.) um filósofo da mesma época de Tales, que exerceu influência maior, e definitiva, não apenas na Matemática, mas também no seu ensino, especialmente por intermédio de Platão".

 

"Formada por aristocratas, a escola pitagórica, seita de caráter político-filosófico-religioso, fundada por Pitágoras, encontrou nos números os elementos essenciais para a justificativa da existência de uma ordem universal, imutável, tanto na sociedade quanto na natureza. Revestida de grande misticismo, acreditando que a purificação só poderia ser alcançada através do conhecimento puro, essa escola seria responsável não apenas pelo estudo de novos resultados a respeito dos números e da geometria, mas especialmente, pelo “estabelecimento da matemática como uma disciplina racional” (Boyer, p.45). Essa seria a base de praticamente toda a Matemática desenvolvida até o século XVII d.C. Mas a escola pitagórica também foi responsável pela introdução da concepção, existente até hoje, de que os homens que trabalham com conceitos matemáticos são superiores aos demais".

 

"Dessa maneira, a Matemática grega, desde o seu nascimento, foi teórica, desligada das questões práticas, voltada para a contemplação e com uma forte ligação com as questões divinas. Veremos, mais tarde, que essas características serão mantidas e aperfeiçoadas pela filosofia de Platão (c. 427-347 a.C.)".

 

"Com relação ao aspecto educacional, podemos dizer que foi na escola filosófica de Pitágoras que a Matemática, pela primeira vez, foi introduzida na educação grega e foi introduzida como um elemento de grande valor formativo. Entretanto, isso estaria restrito à escola filosófica e à formação dos filósofos".

 

"Contudo, não seria essa escola nem esses filósofos que dariam o impulso para as futuras inovações pedagógicas. Isso seria alcançado, na segunda metade do século V a.C., “por um grupo de homens críticos, os ‘sofistas’, menos preocupados com a tradição do que qualquer outro grupo ilustrado surgido anteriormente” (Struik, 1989, p.75)".

 

"A intensa vida política de Atenas, especialmente após a vitória sobre os persas, exigia a formação de um novo tipo de homem: o homem político. E é esse tipo de homem que os sofistas se propõem a formar, oferecendo uma educação alternativa à educação existente, falha no aspecto então considerado fundamental, ou seja, na arte da oratória".

 

"Originários de diversas cidades, sem um local fixo para ensinar, os sofistas visitavam as cidades oferecendo seus préstimos. Não eram pensadores, nem investigadores, não formavam uma escola filosófica e tampouco tinham a mesma proposta de ensino. Em comum havia apenas o fato de serem profissionais do ensino, ou seja, professores. “E no entanto os sofistas não eram meros epígonos. Levantavam uma infinidade de problemas novos. Estão tão profundamente influenciados, nos problemas morais e políticos, pelo pensamento racional do seu tempo e pelas doutrinas dos filósofos, que criam uma nova atmosfera de multifacetada educação” (Jaeger, s/d, p.321)".

 

"A proposta de Protágoras (c. 480-410) – o mais antigo dos sofistas – era ensinar a arte da política por meio da arte da persuasão e da arte do discurso, a retórica. Sua arte da persuasão baseava-se na hipótese de que em qualquer discussão, sobre qualquer tema, é possível tanto defender quanto acusar, uma vez que sempre existem os prós e os contras e que, portanto, possível vencer. Para isso, utilizava-se de um método de discussão cuja base provinha dos paradoxos de Zenão de Eléia".

 

"Apesar de enfatizarem a arte da oratória, considerada fundamental para a formação de um político, os sofistas também atribuíram um grande valor à cultura geral. Segundo eles, para ser um bom orador, além do conhecimento da arte da persuasão e das regras da retórica, seria também fundamental saber falar sobre qualquer assunto e, portanto, conhecer todos os assuntos. Mas isso não levaria a um conhecimento, embora abrangente, muito superficial? Realmente, essa foi das críticas feitas aos sofistas. Além disso, os conhecimentos considerados mais importantes e a profundidade necessária a esses estudos variavam de acordo com a proposta de cada sofista. Para Hípias de Elis (c. 460-399 a.C.), por exemplo, os jovens deveriam estudar a fundo as quatro disciplinas propostas pelo pitagorismo:  aritmética, geometria, música e astronomia".

 

Independentemente da profundidade com que os estudos matemáticos eram desenvolvidos pelas propostas dos sofistas, é a eles que devemos a popularização da Matemática, o reconhecimento de seu valor formativo e a sua inclusão num ciclo normal de estudos, como nos mostra o seguinte texto de Jaeger:

 

E foi realmente obra dos sofistas a inclusão, por parte dos Gregos, das chamadas Mathemata, a que desde os pitagóricos pertenciam a harmonia e a astronomia, na mais alta cultura [...] Um acontecimento fundamental para todo o sempre foi a introdução do ensino matemático. Tinha sido objetivo de investigação científica nos círculos dos chamados pitagóricos. Foi o sofista Hípias quem primeiro reconheceu o seu valor pedagógico incalculável. Outros sofistas, como Antifonte e mais tarde Brison, ocuparam-se de problemas matemáticos na investigação e no ensino. Desde então não deixaram de fazer parte da educação superior.              

(Jaeger, s/d, pp.341-2.)

 

 

     "É claro, entretanto, que estamos nos referindo apenas à introdução do ensino de Matemática num ciclo de estudos equivalente ao nosso ensino superior, destinado apenas aos filhos dos ricos e, talvez, a alguns novos-ricos em busca de uma oportunidade de ascensão, para os quais os sofistas teriam sido os primeiros professores".

 

     "Para os sofistas do século V a.C., esses estudos eram particularmente importantes por sua aplicação prática, e deveriam ser desenvolvidos até “o grau em que isso servia à formação do espírito”, e não por seu valor estritamente teórico, nem com a profundidade que Platão iria propor (Marroum, 1975, p.98). Esse seria um dos pontos de discordância entre Platão e os sofistas, especialmente Isócrates            (c. 436338 a.C.), no amplo debate que seria desenvolvido no século seguinte".

 

     "A oposição aos sofistas, entretanto, surgiu ainda no século V a.C., com Sócrates. Mais preocupado com o aperfeiçoamento da alma do estudante do que em fornecer-lhe apenas os conhecimentos técnicos para atingir o sucesso e o poder, Sócrates pretendia  formar seu aluno na perfeição espiritual, na virtude, tendo como princípio básico a noção de verdade".

 

     "Com os sofistas e com Sócrates (c. 469-3999 a.C.), educação grega passou por uma verdadeira revolução, distanciando-se de suas origens guerreiras e cavalheirescas. Mas essa mudança não ocorreu sem a resistência dos defensores das antigas tradições. As questões sobre as vantagens e desvantagens dessa nova educação em relação à educação antiga estiveram no foco das discussões pedagógicas durante muito tempo".

 

     "Entretanto, essas questões não foram as únicas a ocupar os centros das atenções daquele momento em diante. Uma outra, mais fecunda, surgiria com a nova educação. Esse ponto, que ainda não está totalmente resolvido em nossos dias, diz respeito à forma de educação voltada para a arte do discurso ou da filosofia?"

 

     "Apesar de ter sido o século V a.C., com os sofistas e com Sócrates, aquele que lançou as bases da nova educação grega, seria o século seguinte, com Platão e Isócrates – o primeiro, defensor de uma formação filosófica, e o segundo de uma formação retórica –, que delinearia, de maneira nítida e definitiva, os quadros dessa nova pedagogia".

 

     "Com Platão, temos a Matemática concebida como um conhecimento importante não pelo seu valor prático, mas pela sua capacidade de “despertar o pensamento do Homem” (Jaeger, s/d, p.841). E esse seria o ponto de vista totalmente original, com relação ao valor cultural da aritmética e de todas as matemáticas que, segundo o próprio Platão, nunca antes tinham sido utilizadas com semelhante finalidade. Entretanto, acredita-se que Platão tenha tirado o essencial para o desenvolvimento de suas idéias sobre as matemáticas dos estudos desenvolvidos pelos pitagóricos, em especial por meio de seus contatos com Teodoro de Cirene (c. 390 a.C.)".

 

     "A proposta educacional de Platão preconizava que os estudos matemáticos fossem desenvolvidos desde o nível elementar, e não apenas no ensino superior, como acontecia até então".

 

     "No nível elementar, todas as crianças deveriam estudar rudimentos matemáticos, como “contar um, dois, três..., aprender a série dos inteiros e, provavelmente, as frações duodecimais empregadas na metrologia grega”, e também elementos que Platão considerava importantes não apenas por sua aplicação prática, mas, principalmente, por fornecerem a base necessária aos estudos posteriores. Esses elementos eram compostos essencialmente por problemas concretos, extraídos da vida e dos negócios, com o objetivo de estudar os cálculos – idéia que seria uma imitação das escolas dos escribas egípcios –, além de aplicações numéricas de geometria e de uma introdução à astronomia, que pudesse fornecer o “mínimo de conhecimentos supostos pelo uso do calendário” (Marrou, 1975, pp. 120-1)".

 

     "Entretanto, o ensino de Matemática nesse nível elementar deveria, segundo Platão, evitar os exercícios puramente mecânicos, propor problemas adequados à idade das crianças e ser desenvolvido de maneira lúdica, por meio de jogos. Além disso, os castigos corporais não deveriam ser utilizados, pois a coação não seria a forma mais adequada para resolver o problema da falta de interesse da criança pelos estudos. E por essa razão, propõe “para esta fase o emprego de métodos que inculquem na criança os conhecimentos, como quem brinca” (Jaeger, s/d, p.857). Apesar disso, os jogos e problemas de cálculo sugeridos por Platão não deveriam ficar restritos apenas às aplicações práticas, mas, novamente a exemplo do que entendia que acontecia com os egípcios, deveriam também abrir caminho para um grau maior de abstração, com a introdução, por exemplo, das noções de par e ímpar e de proporcionalidade".

 

     "Na verdade, desde essa formação inicial. Platão via nas matemáticas “uma virtude formadora mais profunda”. Mais importante do que o simples fornecimento de elementos técnico, necessários a várias profissões, elas serviriam para despertar o espírito, fazendo-o adquirir desembaraço, memória e vivacidade” (Marrou, 1975, p.122)".

 

     "Contudo, seria apenas nesse nível elementar que todas as crianças livres estudariam as matemáticas. Para os outros níveis seriam feitas seleções dos mais bem-dotados, que culminariam com alguns poucos – os futuros filósofos e governantes; estes estudariam as matemáticas profundamente, o que significava estudá-las agora de modo totalmente racional, eliminando-lhes qualquer vestígio da experiência sensível. E seriam precisamente as matemáticas que melhor poderiam definir esses espíritos mais talentosos, essas melhores naturezas, dentre aqueles que revelassem, durante o estudo elementar, maior facilidade em aprender, melhor memória e incansável dedicação".

 

     "No entanto, Platão via no estudo da matemática um elemento importante para todos os espíritos, não apenas para os mais bem-dotados, uma vez que entendia que seu estudo desenvolveria nos espíritos bem-dotados “a natural disposição para entrarem em qualquer espécie de estudo”, enquanto os “espíritos de início inertes, mais lentos, por meio deles despertam, com o tempo, de sua sonolência aguçam-se e tornam-se mais aptos a aprenderem do que o eram por natureza” (Marrou, 1975, p.122). Mas seria exatamente a máxima dificuldade que as matemáticas oferecem a quem as estuda” o motivo pelo qual Platão as considerava com as mais indicadas para a “seleção espiritual” (Jaeger, s/d, p.842)".

 

     "Temos assim, pela primeira vez, as matemáticas colocadas como um elemento fundamental para a seleção dos melhores, base dos futuros exames e concursos, juntamente com o estudo das letras, até os nossos dias. Mesmo assim, veremos que o fato não se deu imediatamente. No Brasil, por exemplo, mesmo após a Reforma Francisco campos, em 1931, as matemáticas eram exigidas apenas em alguns vestibulares de alguns poucos cursos superiores, especialmente os de Engenharia, Arquitetura e Química Industrial".

 

     "Ao analisarmos a proposta pedagógica de Platão, ao mesmo tempo em que encontramos alguns aspectos extremamente positivos com relação ao ensino de Matemática, como a introdução definitiva desta disciplina em um plano educacional regular para todos os indivíduos e a importância atribuída a um estudo inicial mais adequado para crianças, encontraremos, também, as raízes de alguns dos principais problemas até hoje enfrentados pelo ensino desta matéria".

 

     "A base desses problemas estaria, principalmente, no misticismo que a concepção platônica apresentava com relação aos conhecimentos matemáticos mais abstratos – os mais afastados do nosso mundo sensível –, aqueles que seriam superiores a outras formas de conhecimento por terem o poder de elevar a alma até um mundo perfeito, o mundo de Deus. Esse misticismo que revestia a Matemática, originado com os pitagóricos é, a nosso ver, o principal responsável pela atribuição de algumas afirmações que trariam conseqüências desastrosas para o ensino desta disciplina, e que ainda hoje representam um fator limitante ao acesso de um grande número de pessoas no seu estudo. Essas afirmações são bastante comuns e muito conhecidas:

 

-         a Matemática é uma ciência perfeita, que apresenta resultados imutáveis, válidos eternamente;

-         a Matemática só pode ser compreendida por alguns poucos escolhidos;

-         as pessoas que sabem Matemática são pessoas superiores;

-         a Matemática desenvolve o raciocínio das pessoas;

-         a Matemática é um elemento fundamental para selecionar as pessoas mais aptas para o trabalho em qualquer profissão.

 

Mas naquele século IV a.C., uma outra proposta de educação baseada na retórica, radicalmente oposta à platônica, também estava no centro das discussões pedagógicas. Essas duas propostas seriam as responsáveis por um dos mais fecundos debates sobre a melhor forma de educação, o qual, em alguns aspectos, permanece até hoje".

 

"O maior representante da educação retórica foi Isócrates, considerado por alguns como o pai da cultura humanística. Para ele, a filosofia não passa de um jogo inútil, que apenas diverte, mas não tem nenhuma utilidade para a vida prática. A retórica por sua vez, seria a forma mais adequada para tornar o homem tanto m0ral como espiritualmente realizado".

 

"Na verdade, enquanto Isócrates se propunha  a formar a elite de seu tempo, para a qual a arte do bem falar seria fundamental, Platão desistiu de cuidar das coisas terrenas e trabalhava pela formação de um homem ideal para um Estado ideal".

 

"A proposta pedagógica de Isócrates, embora baseada fundamentalmente em estudo literários, acreditava também nos valores formativos das matemáticas, uma vez que via nelas a possibilidade de “habituar o espírito ao trabalho disciplinado”, o que seria conseguido exatamente pelo fato de serem “abstratas e difíceis”. Entretanto, não concordava que esses estudos fossem desenvolvidos da maneira profunda proposta por Platão. Com sua preocupação mais voltada para as coisas práticas, Isócrates preferia ensinar seus discípulos”a formarem uma opinião razoável sobre as coisas úteis, a faze-los queimarem as pestanas em busca de certeza sobre questões perfeitamente inúteis, como a duplicação do cubo” (Marrou, 1975, p.146)".

 

"É com Platão e Isócrates que assistimos ao nascimento de uma discussão pedagógica que sempre será retomada, desse momento em diante, quando se apresenta uma nova proposta em educação. Ela diz respeito ao tipo de ensino mais adequado à formação do estudante e que tem como base a oposição entre os estudos científicos e literários. Algumas das questões que orientam essa discussão são:

 

-         O ensino mais adequado seria o mais teórico ou o mais voltado para as questões práticas?

-         Que tipo de educação desenvolveria mais o pensamento do estudante: a educação literária ou a filosófica, em que as matemáticas desempenham um papel fundamental?

-         Escrever sobre determinado tema, tentando manter um todo coerente e articulado, não desenvolveria mais o pensamento que o trabalho com raciocínio lógico sobre um tema abstrato, sem ligação com o contexto social?

 

Apesar de tanto Platão quanto Isócrates terem feito ao final das discussões algumas concessões à proposta de seu opositor – Isócrates reconheceu cada vez mais o valor propedêutico das Matemáticas e da filosofia, e Platão abriu espaço em sua Academia aos estudos retóricos –, as suas propostas de formação conservaram em sua base elementos bastante opostos, que se constituíram nos dois pilares da educação clássica: a educação literária e a educação filosófica".

 

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